Tores

En géométrie, un tore est la surface de révolution obtenue en faisant tourner un cercle autour d'une droite de son plan, ou bien le solide de révolution que cette surface délimite, auquel cas la surface est dite surface torique.

En topologie, on définit la notion de tore de dimension n, le tore géométrique ouvert précédent étant un représentant du cas n = 2.

Solide de révolution en géométrie euclidienne

Un tore est la surface de l'espace euclidien

R

3

{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

engendré par la rotation d'un cercle

C

{\displaystyle C}

de rayon

r

{\displaystyle r}

autour d'une droite affine

D

{\displaystyle D}

située dans son plan à une distance

R

{\displaystyle R}

de son centre. Dans cette acception, on désigne parfois par tore plein le solide que cette surface délimite. À l'action d'une isométrie affine directe près, le tore (surface ou solide) est uniquement déterminé par les deux paramètres réels

R

{\displaystyle R}

et

r

{\displaystyle r}

.

La forme du tore (surface ou solide) dépend du signe de

r

−

R

{\displaystyle r-R}

:

si

r

=

0

=

R

{\displaystyle r=0=R}

, le tore se réduit à un point ;

si

r

=

0

<

R

{\displaystyle r=0<R}

, le tore se réduit à un cercle de rayon R ;

si

0

<

r

<

R

{\displaystyle 0<r<R}

, le tore est dit « ouvert » et ressemble à une chambre à air ou encore à un beignet (donut nord-américain). Certains auteurs réservent la dénomination de tore à ce cas (ou incluent le cas suivant).

si

0

<

r

=

R

{\displaystyle 0<r=R}

, le tore est dit « à collier nul » ou tore fermé ou tore jointif ;

si

0

<

R

<

r

{\displaystyle 0<R<r}

, le tore est dit « croisé » et ressemble visuellement à une citrouille ; le solide est topologiquement une boule fermée de l'espace tridimensionnel, et sa surface une sphère.

si

R

=

0

<

r

{\displaystyle R=0<r}

, le tore (plein) est une boule (solide obtenu par la rotation d'un disque autour de l'un de ses diamètres) de rayon r.

Équations du tore (surface)

Un tore peut être défini paramétriquement par:

x

(

u

,

v

)

=

(

R

+

r

cos

⁡

v

)

cos

⁡

u

{\displaystyle x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}}

,

y

(

u

,

v

)

=

(

R

+

r

cos

⁡

v

)

sin

⁡

u

{\displaystyle y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}}

,

z

(

u

,

v

)

=

r

sin

⁡

v

{\displaystyle z(u,v)=r\sin {v}}

.

où :

u et v appartiennent à l'intervalle [0, 2π[,

R est la distance entre le centre du tube et le centre du tore,

r est le rayon du cercle C.

En sommant les carrés :

x

2

+

y

2

+

z

2

=

R

2

+

2

R

r

cos

⁡

v

+

r

2

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}+2Rr\cos {v}+r^{2}}

.

On isole

cos

⁡

v

{\displaystyle \cos {v}\,}

et on élève à nouveau au carré :

(

x

2

+

y

2

+

z

2

−

R

2

−

r

2

)

2

=

(

2

R

r

cos

⁡

v

)

2

{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}-r^{2})^{2}=(2Rr\cos {v})^{2}}

.

Ne reste plus alors qu'à injecter

z

2

=

r

2

sin

2

⁡

v

{\displaystyle z^{2}=r^{2}\sin ^{2}{v}}

pour obtenir finalement :

(

x

2

+

y

2

+

z

2

−

R

2

−

r

2

)

2

=

4

R

2

r

2

(

1

−

sin

2

⁡

v

)

{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}r^{2}(1-\sin ^{2}{v})}

,

(

x

2

+

y

2

+

z

2

−

R

2

−

r

2

)

2

=

4

R

2

(

r

2

−

z

2

)

{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(r^{2}-z^{2})}

.

Une autre équation cartésienne pour un tore symétrique par rapport à l'axe z est

(

x

2

+

y

2

−

R

)

2

+

z

2

=

r

2

,

{\displaystyle \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)^{2}+z^{2}=r^{2},\,\!}

En éliminant algébriquement la racine carrée, on obtient une équation du 4e degré.

(

x

2

+

y

2

+

z

2

+

R

2

−

r

2

)

2

=

4

R

2

(

x

2

+

y

2

)

.

{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!}

Aire et volume

Pour

R

−

r

{\displaystyle R-r}

positif ou nul, on a :

Aire du tore :

A

=

∫

0

2

π

R

d

θ

(

∫

0

2

π

r

d

θ

)

=

4

π

2

r

R

{\displaystyle A=\int \limits _{0}^{2\pi }R\,{\text{d}}\theta \;\left(\int \limits _{0}^{2\pi }r\,{\text{d}}\theta \right)=4\pi ^{2}rR}

Volume intérieur du tore :

V

=

∫

0

2

π

R

d

θ

(

∫

0

2

π

∫

0

r

r

d

r

d

θ

)

=

2

π

2

r

2

R

{\displaystyle V=\int \limits _{0}^{2\pi }R\,{\text{d}}\theta \;\left(\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{r}r\,\mathrm {d} r{\text{d}}\theta \right)=2\pi ^{2}r^{2}R}

Les théorèmes de Guldin permettent d'obtenir ces résultats, et aussi de déterminer les formules de l'aire et du volume du tore croisé (pour

R

<

r

{\displaystyle R<r}

).

Groupe des isométries

Pour

R

>

0

{\displaystyle R>0}

, parmi les isométries remarquables du tore, on distingue :

les rotations

r

u

{\displaystyle r_{u}}

d'axe (supposé orienté)

D

{\displaystyle D}

et d'angle u ;

le retournement

a

{\displaystyle a}

par rapport au plan affine

P

{\displaystyle P}

orthogonal à

D

{\displaystyle D}

passant par le centre de

C

{\displaystyle C}

;

le retournement

b

Q

{\displaystyle b_{Q}}

par rapport à tout plan affine

Q

{\displaystyle Q}

contenant

D

{\displaystyle D}

;

la symétrie centrale

s

{\displaystyle s}

par rapport au projeté orthogonal

O

{\displaystyle O}

de

C

{\displaystyle C}

sur

D

{\displaystyle D}

;

les symétries axiales par rapport à toute droite passant par

O

{\displaystyle O}

et contenue dans

P

{\displaystyle P}

;

les composées d'une rotation

r

u

{\displaystyle r_{u}}

par le retournement

a

{\displaystyle a}

.

La symétrie centrale et les symétries axiales s'obtiennent comme composées des retournements décrits. Le groupe

G

{\displaystyle G}

des isométries du tore est isomorphe au produit direct de

Z

/

2

Z

{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }

par le produit semi-direct de S1 par

Z

/

2

Z

{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }

:

G

=

Z

/

2

Z

×

(

R

/

2

π

Z

⋊

Z

/

2

Z

)

{\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times (\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}

.

Un isomorphe naturel est décrit comme suit :

r

u

{\displaystyle r_{u}}

correspond à

(

0

,

u

,

0

)

{\displaystyle (0,u,0)}

;

a

{\displaystyle a}

correspond à

(

1

,

0

,

0

)

{\displaystyle (1,0,0)}

;

Pour un plan Q fixé arbitraire,

b

Q

{\displaystyle b_{Q}}

correspond à

(

0

,

0

,

1

)

{\displaystyle (0,0,1)}

.

En particulier,

b

r

u

(

Q

)

=

r

u

b

Q

r

−

u

{\displaystyle b_{r_{u}(Q)}=r_{u}b_{Q}r_{-u}}

b correspond à

(

0

,

u

,

1

)

{\displaystyle (0,u,1)}

;

s

{\displaystyle s}

correspond à

(

1

,

π

,

0

)

{\displaystyle (1,\pi ,0)}

.

Cercles de Villarceau

Les cercles de Villarceau sont deux cercles obtenus en sectionnant un tore selon un plan diagonal bitangent qui passe par le centre du tore. Ils tiennent leur nom de l'astronome et mathématicien français Yvon Villarceau (1813–1883).

Étant donné un point du tore, on peut construire sur le tore quatre cercles passant par ce point : un dans le plan du tore, un autre perpendiculairement à ce plan ; les deux autres sont les cercles de Villarceau.

Colorier un tore

Le théorème des quatre couleurs ne s'applique pas pour un tore : il est possible de diviser la surface d'un tore en 7 zones de couleurs différentes (maximum) de sorte que chacune touche les 6 autres. Le théorème de Ringel–Youngs permet de montrer que 7 couleurs suffisent toujours.

Caractéristique d'Euler d'un tore

La caractéristique d'Euler d'un tore est égale à 0 : il est possible de mailler le tore sans introduire de singularité.

Applications

En recherche nucléaire pour la production d'énergie par fusion, dans les réacteurs de type tokamak, le plasma est contenu par de forts champs magnétiques dans une chambre de forme torique. L'un de ces réacteurs porte d'ailleurs le nom de Tore Supra. C'est aussi la forme des chambres à vide des accélérateurs de particules du type synchrotron (en négligeant les canaux d'entrée et de sortie).

En électricité, la forme idéale du circuit magnétique d'un transformateur est celle du tore.

Tore de dimension n

En topologie, le terme tore est réservé pour désigner des espaces topologiques (ou des variétés). Il existe plusieurs présentations, toutes équivalentes à homéomorphisme (ou difféomorphisme) près. On appelle tore de dimension n ou n-tore, et l'on note Tn, l'espace topologique défini comme :

produit de n copies du cercle unité S1 ;

quotient de Rn par Zn ;

plus généralement, quotient d'un espace vectoriel réel E de dimension finie n par un réseau G ;

Le tore de dimension n est une variété topologique compacte et connexe de dimension n. Obtenu comme quotient E/G, Tn est une variété différentielle et même un groupe de Lie abélien ; l'atlas maximal correspondant ne dépend ni du réseau, ni de l'espace vectoriel. Si E est un espace vectoriel euclidien, le quotient Tn = E/G se présente naturellement comme une variété plate.

Pour construire un cercle, on peut joindre les extrémités d'un segment en le courbant dans un plan. De même, pour construire un 2-tore, on peut joindre deux à deux les côtés opposés d'un carré en le courbant dans une troisième dimension et plus généralement, pour construire un n-tore, on peut joindre deux à deux les faces (n – 1)-dimensionnelles opposées d'un hypercube de dimension n en courbant cet hypercube dans une nouvelle dimension n + 1. Ainsi, un 3-tore est le recollement des 3 paires de faces opposées d'un cube, dans une quatrième dimension.

Le groupe fondamental de Tn est le groupe abélien libre à n générateurs, soit Zn.

Les tores sont les seuls groupes de Lie abéliens compacts connexes. L'introduction des tores maximaux (sous-groupes compacts abéliens connexes maximaux) est d'une importance capitale dans l'étude des groupes de Lie compacts.

Dynamique d'un plasma ou d'un fluide dans un tore

Des réservoirs toroïdes ou toriques (en forme de tore) sont présents dans plusieurs modèles de centrales nucléaires dont le récent AP 1000, ou les réacteurs de la série Mark.

En cas de séisme important avec déplacement latéral du sol, d'explosion ou choc ayant les mêmes conséquences, le flushing (les ondes et vagues induites et leur effet de Ballottement) peut être une source de contraintes inhabituelles et différentiées dans le tore.

Comprendre le flushing est donc un enjeu pour certaines technologies utilisant des réservoirs toriques, de même que pour les réservoirs circulaire ou toroïde dans un véhicule en déplacement, y compris avion, fusée ou véhicule spatial.

La physique des plasmas formés dans les tores fait également l'objet de nombreuses études, dans le cadre du développement des Tokamaks et de la fusion nucléaire.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

(en) Meserole, J.S., A. Fortini (1987), “Slosh Dynamics in a Toroidal Tank,” Journal Spacecraft, Volume 24, Number 6, November-December 1987 (résumé)

(en) Hiroki Takahara, Kensuke Hara, Takeshi Ishida. (2012) Nonlinear liquid oscillation in a cylindrical tank with an eccentric core barrel. Journal of Fluids and Structures, Volume 35, November 2012, Pages 120–132 (résumé

(en) Hiroki Takahara, Koji Kimura. (2012) Frequency response of sloshing in an annular cylindrical tank subjected to pitching excitation. Journal of Sound and Vibration 331:13, 3199-3212 ; En ligne: 2012-06-01. (résumé)

Articles connexes

Bouteille de Klein

Cercles de Villarceau

Citron (partie interne du tore croisé)

Complexe simplicial

Plan projectif

Tore non commutatif

Tore de Stanford

Conjecture de Willmore

Tube (mathématiques)

Univers en tore bidimensionnel

Cerceau, objet torique

Liens externes

Torus Games Quelques jeux téléchargeables gratuitement, fonctionnant sous Windows et Mac OS X, qui détaillent la topologie du tore

Robert Ferréol, « Tore (notion géométrique) », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables

Robert Ferréol, « Tore (notion topologique) », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables

[vidéo] Henri Paul de Saint-Gervais, « Revêtement universel du tore », sur YouTube

Hélice toroïdale (en) : « Des chercheurs du MIT ont trouvé comment réduire le bruit énervant des drones quadricoptères, en remplaçant les pales droites par des pales toroïdales », sur Futura, 30 janvier 2023 (consulté le 12 mai 2023)

Ressource relative aux beaux-arts : Grove Art Online

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