Paire
Paire est un mot de 5 lettres formé à partir du mot Pair auquel on ajoute la lettre E.
Que signifie le mot Paire ?
Une paire est un ensemble qui comprend exactement deux éléments.
Remarques
Une paire qui contient deux éléments
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
se note
{
a
,
b
}
{\displaystyle \left\{a,b\right\}}
.
L'ordre d'écriture de la paire n'a pas d'importance:
{
a
,
b
}
=
{
b
,
a
}
{\displaystyle \{a,b\}=\{b,a\}}
. Ceci différencie la paire du couple.
Le cardinal d'une paire est 2.
L'ensemble
{
a
,
a
}
{\displaystyle \left\{a,a\right\}}
n'est pas une paire mais un singleton et se note aussi
{
a
}
{\displaystyle \left\{a\right\}}
.
Exemples
{
1
,
3
}
{\displaystyle \left\{1,3\right\}}
(avec une espace après la virgule) est la paire comprenant les entiers
1
{\displaystyle 1}
et
3
{\displaystyle 3}
.
{
sin
,
exp
}
{\displaystyle \left\{\sin ,\exp \right\}}
est une paire de fonctions.
{
{
1
}
,
{
1
,
2
}
}
{\displaystyle \left\{\{1\},\{1,2\}\right\}}
est une paire composée du singleton
{
1
}
{\displaystyle \left\{1\right\}}
et de la paire
{
1
,
2
}
{\displaystyle \left\{1,2\right\}}
.
{
5
,
A
}
{\displaystyle \left\{5,A\right\}}
est une paire composée du nombre
5
{\displaystyle 5}
et de l'élément
A
{\displaystyle A}
.
{
7
,
2
}
=
{
2
,
7
}
{\displaystyle \left\{7,2\right\}=\{2,7\}}
alors que
(
7
,
2
)
≠
(
2
,
7
)
{\displaystyle (7,2)\neq (2,7)}
Propriétés
Appartenance d'un élément à une paire (ou à un singleton)
Un élément x appartient à une paire si et seulement s'il est égal à l'un des deux éléments de cette paire. Cet énoncé est en fait tout autant valable pour un singleton. On peut donc l'écrire formellement, pour a et b donnés :
∀x, x ∈ {a, b} ⇔ (x = a ou x = b)
(le « ou » en question désigne, comme d'habitude en mathématiques, une disjonction inclusive : l'énoncé reste vrai si x = a et x = b).
Cette proposition caractérise les paires (ou singletons). Dans l'axiomatisation de la théorie des ensembles, il y a un axiome spécifique, appelé axiome de la paire, qui exprime pour tout
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
l'existence d'une paire
{
a
,
b
}
{\displaystyle \{a,b\}}
et qui se fonde sur cette proposition.
Égalité de deux paires
Deux paires sont égales si et seulement si leurs éléments sont égaux deux à deux, de l'une des deux façons dont on peut les associer. Plus précisément, pour deux paires ou singletons {a, b} et {c, d} :
{a, b} = {c, d} ⇔ [(a = c et b = d) ou (a = d et b = c)].
Autres propriétés
Un raisonnement simple de dénombrement montre que le nombre de paires d'un ensemble fini à n éléments est égal à n(n – 1)/2 (voir l'article « Combinaison »).
Histoire
Von Neumann, dans son article de 1923, qui est un des premiers sur la théorie des ensembles, note les paires
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
, comme nous noterions aujourd'hui les couples. Remarquons qu'il définit l'entier
2
{\displaystyle 2}
comme étant la paire
{
∅
,
{
∅
}
}
{\displaystyle \left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}}
, qu'il écrit
(
O
,
(
O
)
)
{\displaystyle \left(\mathbf {O} ,(\mathbf {O} )\right)}
.
Notes et références
Notes
Références
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