Jinc

Une fonction sombrero (parfois appelée fonction besinc ou fonction jinc) est l'analogue bidimensionnel en coordonnées polaires de la fonction sinc et est ainsi appelée parce qu'elle a la forme d'un sombrero. Cette fonction est fréquemment utilisée dans le traitement d'images. Elle peut être définie via la fonction de Bessel du premier type où ρ2 = x2 + y2 .

somb

⁡

(

ρ

)

=

2

J

1

(

π

ρ

)

π

ρ

{\displaystyle \operatorname {somb} (\rho )={\frac {2J_{1}(\pi \rho )}{\pi \rho }}}

.

Le facteur de normalisation 2 fait somb(0) = 1. Parfois, le facteur π est omis, ce qui donne la définition alternative suivante :

somb

⁡

(

ρ

)

=

2

J

1

(

ρ

)

ρ

.

{\displaystyle \operatorname {somb} (\rho )={\frac {2J_{1}(\rho )}{\rho }}.}

Le facteur 2 est également souvent omis, donnant encore une autre définition et faisant que le maximum de la fonction est de 0,5 :

somb

⁡

(

ρ

)

=

J

1

(

ρ

)

ρ

.

{\displaystyle \operatorname {somb} (\rho )={\frac {J_{1}(\rho )}{\rho }}.}

Propriétés

Dérivée

On a :

d

d

ρ

(

J

1

(

ρ

)

ρ

)

=

−

J

2

(

ρ

)

ρ

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \rho }}\left({\frac {J_{1}(\rho )}{\rho }}\right)=-{\frac {J_{2}(\rho )}{\rho }}}

Équivalents

On a:

J

1

(

ρ

)

ρ

∼

ρ

→

0

1

2

cos

⁡

(

ρ

2

)

∼

ρ

→

0

1

2

(

1

−

ρ

2

8

)

,

J

1

(

ρ

)

ρ

∼

ρ

→

∞

1

2

cos

⁡

(

|

ρ

|

−

3

π

4

)

2

π

|

ρ

|

3

{\displaystyle {\frac {J_{1}(\rho )}{\rho }}\ {\underset {\rho \rightarrow 0}{\sim }}\ {\frac {1}{2}}\cos \left({\frac {\rho }{2}}\right)\ {\underset {\rho \rightarrow 0}{\sim }}\ {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{8}}\right)\quad ,\quad {\frac {J_{1}(\rho )}{\rho }}{\underset {\rho \rightarrow \infty }{\sim }}{\frac {1}{2}}\cos \left(|\rho |-{\frac {3\pi }{4}}\right){\sqrt {\frac {2}{\pi |\rho |^{3}}}}}

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la fonction sombrero est :

F

(

s

o

m

b

)

(

f

)

=

1

−

f

2

π

1

1

]

−

1

;

1

[

(

f

)

.

{\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathrm {somb} )(f)={\frac {\sqrt {1-f^{2}}}{\pi }}1\!\!1_{]-1;1[}(f).}

Applications

La transformée de Fourier de la fonction cercle 2D est une fonction sombrero. Celle-ci apparaît donc dans le profil d'intensité de la diffraction d'un champ lointain par une ouverture circulaire, qu'on appelle une tache d'Airy.

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Jinc Function », sur MathWorld

Jinc function sur le blog de John D. Cook

Références

(en) Qing Cao, « Generalized Jinc functions and their application to focusing and diffraction of circular apertures », Journal of the Optical Society of America A, vol. 20, no 4,‎ 2003, p. 661-667 (lire en ligne)

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