Cosh
Cosh est un mot de 4 lettres formé à partir du mot Cos auquel on ajoute la lettre H.
Que signifie le mot Cosh ?
Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.
Définition
La fonction cosinus hyperbolique, notée
cosh
{\displaystyle \cosh }
(ou
{\displaystyle \operatorname {ch} }
), est la fonction complexe suivante :
cosh
:
C
→
C
z
↦
e
z
+
e
−
z
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\cosh :&\mathbb {C} &\to &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &\displaystyle {\frac {\operatorname {e} ^{z}+\operatorname {e} ^{-z}}{2}}\end{matrix}}}
où
z
↦
e
z
{\displaystyle z\mapsto \operatorname {e} ^{z}}
est l'exponentielle complexe.
La fonction cosinus hyperbolique est donc la partie paire de l'exponentielle complexe. Elle se restreint en une fonction réelle d'une variable réelle.
La fonction cosinus hyperbolique restreinte à ℝ est en quelque sorte l'analogue dans la géométrie hyperbolique de la fonction cosinus (voir infra).
La notation Ch. x a été introduite par Vincenzo Riccati au XVIIIe siècle.
Propriétés
Propriétés générales
cosh est continue et même holomorphe donc de classe C∞ (c.-à-d. infiniment dérivable). Sa dérivée est la fonction sinus hyperbolique, notée sinh.
cosh est paire.
Les primitives de cosh sont sinh + C, où C est une constante d'intégration.
cosh est strictement croissante sur ℝ+.
Propriétés trigonométriques
Des définitions des fonctions cosinus et sinus hyperboliques, on peut déduire les égalités suivantes, valables pour tout complexe
z
{\displaystyle z}
et analogues aux formules d'Euler en trigonométrie circulaire :
e
z
=
cosh
z
+
sinh
z
et
e
−
z
=
cosh
z
−
sinh
z
,
donc
cosh
2
z
−
sinh
2
z
=
1.
{\displaystyle \operatorname {e} ^{z}=\cosh z+\sinh z\quad {\text{et}}\quad \operatorname {e} ^{-z}=\cosh z-\sinh z,\quad {\text{donc}}\quad \cosh ^{2}z-\sinh ^{2}z=1.}
Quand t décrit ℝ, de même que le point de coordonnées
(
cos
t
,
sin
t
)
{\displaystyle (\cos t,\sin t)}
parcourt un cercle d'équation
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
, celui de coordonnées
(
cosh
t
,
sinh
t
)
{\displaystyle (\cosh t,\sinh t)}
parcourt donc une branche d'une hyperbole équilatère d'équation
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
.
D'autre part, pour tous nombres complexes
x
{\displaystyle x}
et
y
{\displaystyle y}
:
cosh
(
i
x
)
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
=
cos
x
{\displaystyle \cosh(\mathrm {i} x)={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}+\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}=\cos x}
;
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh x=\cos(\mathrm {i} x)}
;
cosh
(
x
+
y
)
=
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
{\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y}
, d'où
cosh
2
x
=
cosh
2
x
+
sinh
2
x
=
1
+
2
sinh
2
x
=
2
cosh
2
x
−
1
{\displaystyle \cosh 2x=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=1+2\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1}
cosh
2
(
x
2
)
=
1
+
cosh
x
2
{\displaystyle \cosh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1+\cosh x}{2}}}
.
L'utilisation de formules trigonométriques telles que
tan
(
2
t
)
=
2
tan
t
1
−
tan
2
t
{\displaystyle \tan(2t)={\frac {2\tan t}{1-\tan ^{2}t}}}
permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel
x
{\displaystyle x}
) :
cosh
x
=
1
sin
(
2
arctan
(
e
x
)
)
{\displaystyle \cosh x={\frac {1}{\sin(2\arctan(\operatorname {e} ^{x}))}}}
;
voir également l'article Gudermannien.
Développement en série de Taylor
La série de Taylor de la fonction cosh converge sur ℂ tout entier et est donnée par :
cosh
z
=
1
+
z
2
2
!
+
z
4
4
!
+
z
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
z
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cosh z=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}}
.
Polynômes de Tchebychev
Soit
T
n
{\displaystyle T_{n}}
le n-ième polynôme de Tchebychev. En prolongeant aux complexes la relation (vraie pour tout réel t)
T
n
(
cos
t
)
=
cos
(
n
t
)
{\displaystyle T_{n}(\cos t)=\cos(nt)}
, on obtient pour tout complexe z la relation
T
n
(
cosh
z
)
=
cosh
(
n
z
)
{\displaystyle T_{n}(\cosh z)=\cosh(nz)}
.
Valeurs
Quelques valeurs de
cosh
{\displaystyle \cosh }
:
cosh
0
=
1
{\displaystyle \cosh 0=1}
;
cosh
1
=
e
2
+
1
2
e
{\displaystyle \cosh 1={\frac {\operatorname {e} ^{2}+1}{2\mathrm {e} }}}
;
cosh
i
=
cos
1
{\displaystyle \cosh \mathrm {i} =\cos 1}
.
Zéros
Tous les zéros de cosh sont des imaginaires purs. Plus précisément, pour tout nombre complexe
z
{\displaystyle z}
,
cosh
z
=
0
⇔
z
∈
i
π
(
Z
+
1
2
)
.
{\displaystyle \cosh z=0\Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \pi \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}\right).}
En effet, soit
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}
avec
x
,
y
{\displaystyle x,y}
réels. On a alors
cosh
z
=
cosh
x
cos
y
+
i
sinh
x
sin
y
{\displaystyle \cosh z=\cosh x\cos y+\mathrm {i} \sinh x\sin y}
, donc
cosh
z
=
0
⇔
(
cos
y
=
0
et
sinh
x
=
0
)
⇔
(
y
∈
{
π
/
2
+
k
π
∣
k
∈
Z
}
et
x
=
0
)
{\displaystyle \cosh z=0\Leftrightarrow \left(\cos y=0{\text{ et }}\sinh x=0\right)\Leftrightarrow \left(y\in \{\pi /2+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}{\text{ et }}x=0\right)}
.
Fonction réciproque
Sur [0, +∞[, cosh est continue et strictement croissante ; sa valeur en 0 est 1 et sa limite en +∞ est +∞. C'est donc une bijection de [0, +∞[ dans [1, +∞[. Sa bijection réciproque, notée arcosh (ou argch), est nommée « argument cosinus hyperbolique » ou « arc cosinus hyperbolique ».
Sur ℂ, il s'agit d'une fonction multivaluée complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure la demi-droite ]–∞, 1].
arcosh
z
=
ln
(
z
+
z
+
1
z
−
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\ln \left(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\right).}
Pour x∈ [1, +∞[, il existe deux réels dont le cosh vaut x :
arcosh
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
et
−
arcosh
x
=
ln
(
x
−
x
2
−
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\quad {\text{et}}\quad -\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}
En effet, en posant
t
=
arcosh
x
{\displaystyle t=\operatorname {arcosh} x}
et en utilisant que
cosh
2
t
−
sinh
2
t
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1}
et
t
>
0
{\displaystyle t>0}
, on obtient
e
t
=
cosh
t
+
sinh
t
=
x
+
x
2
−
1
et
e
−
t
=
cosh
t
−
sinh
t
=
x
−
x
2
−
1
.
{\displaystyle \operatorname {e} ^{t}=\cosh t+\sinh t=x+{\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{et}}\quad \operatorname {e} ^{-t}=\cosh t-\sinh t=x-{\sqrt {x^{2}-1}}.}
La fonction
arcosh
{\displaystyle \operatorname {arcosh} }
est dérivable sur ]1, +∞[ et
∀
x
∈
]
1
,
+
∞
[
arcosh
′
x
=
1
x
2
−
1
.
{\displaystyle \forall x\in ]1,+\infty [\quad \operatorname {arcosh} 'x={\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}.}
Utilisation
Géométrie hyperbolique
En géométrie hyperbolique, de nombreuses formules sont les analogues des formules correspondantes en trigonométrie sphérique, en remplaçant les fonctions circulaires par les fonctions hyperboliques correspondantes ; ainsi, la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique (ou loi des cosinus),
cos
c
=
cos
a
cos
b
+
sin
a
sin
b
cos
γ
,
{\displaystyle \cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma ~,}
devient, pour un triangle hyperbolique, cosh(c) = cosh(a) cosh(b) - sinh(a) sinh(b) cos(γ) (pour la signification des lettres, se reporter aux articles détaillés).
Physique
La courbe représentative de la fonction
cosh
{\displaystyle \cosh }
sur ℝ décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble homogène fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.
Architecture
Le cosinus hyperbolique correspond en architecture à l'arc caténaire issu au départ de l'ingénierie des ponts suspendus. Antoni Gaudí a été l'un des premiers à l'utiliser massivement en architecture commune avec en particulier deux de ses œuvres les plus connues : la crypte de la Colonia Güell et la Sagrada Família.
La Gateway Arch à Saint-Louis dans le Missouri possède la forme d'une chaînette renversée. Elle s'élève à 192 m en son centre et enjambe 192 m à sa base. Les points de cette arche satisfont approximativement l'équation
y
=
−
39
cosh
(
x
39
)
+
231
{\displaystyle y=-39\cosh \left({\frac {x}{39}}\right)+231}
pour –96 < x < 96.
Notes et références
Voir aussi
Sinus hyperbolique
Tangente hyperbolique
Portail de l'analyse
Quels sont les mots de 5 lettres qui commencent par Cosh ?
La liste des mots commençant par Cosh est la suivante :