Argth

La tangente hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique. C'est la réciproque de la fonction tangente hyperbolique.

Définition

La fonction tangente hyperbolique réciproque, ou argument tangente hyperbolique, notée artanh (ou argth),

artanh

:

]

−

1

,

+

1

[

→

R

{\displaystyle \operatorname {artanh} :\left]-1,+1\right[\to \mathbb {R} }

est définie à l'aide de la tangente hyperbolique par :

y

=

artanh

⁡

x

⟺

x

=

tanh

⁡

y

e

t

|

y

|

<

1

{\displaystyle y=\operatorname {artanh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\tanh y\ \mathrm {et} \ |y|<1}

.

Propriétés

Cette fonction est bijective, impaire et son image est

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

. Elle est continue, strictement croissante, concave sur

]

−

1

,

0

[

{\displaystyle \left]-1,0\right[}

et convexe sur

]

0

,

+

1

[

{\displaystyle \left]0,+1\right[}

.

Sa valeur en 0 est 0 et sa limite en 1 est +∞.

Elle est dérivable sur

]

−

1

,

1

[

{\displaystyle \left]-1,1\right[}

et sa dérivée est donnée par

∀

|

x

|

<

1

artanh

′

⁡

x

=

1

1

−

x

2

{\displaystyle \forall |x|<1\quad \operatorname {artanh} 'x={\frac {1}{1-x^{2}}}}

.

Par conséquent, la fonction artanh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par

∀

|

x

|

<

1

artanh

⁡

x

=

1

2

ln

⁡

(

1

+

x

1

−

x

)

{\displaystyle \forall |x|<1\quad \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}

.

La fonction tangente hyperbolique réciproque admet pour développement en série entière, valable pour

|

x

|

<

1

{\displaystyle |x|<1}

:

artanh

⁡

x

=

∑

k

=

0

∞

x

2

k

+

1

2

k

+

1

.

{\displaystyle \operatorname {artanh} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}.}

Extension sur le plan complexe

La fonction peut être étendue sur le plan complexe, avec une définition similaire :

∀

|

z

|

<

1

Artanh

⁡

z

=

1

2

Log

⁡

(

1

+

z

1

−

z

)

.

{\displaystyle \forall |z|<1\quad \operatorname {Artanh} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right).}

On utilise cependant ici la valeur principale du logarithme complexe.

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Tangent », sur MathWorld

Notes et références

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