Argsh

Le sinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

La fonction sinus hyperbolique réciproque, ou argument sinus hyperbolique, notée arsinh (ou argsh),

arsinh

:

R

→

R

{\displaystyle \operatorname {arsinh} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }

est définie à l'aide du sinus hyperbolique par :

y

=

arsinh

⁡

x

⟺

x

=

sinh

⁡

y

{\displaystyle y=\operatorname {arsinh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\sinh y}

.

Propriétés

Cette fonction est bijective et son image est

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

. Elle est continue, impaire, strictement croissante, convexe sur

R

−

{\displaystyle \mathbb {R} _{-}}

et concave sur

R

+

{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}

.

Sa valeur en 0 est 0 et sa limite en +∞ est +∞.

Elle est dérivable sur

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

et sa dérivée est donnée par :

∀

x

∈

R

arsinh

′

⁡

x

=

1

1

+

x

2

{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} 'x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}

.

Par conséquent, la fonction arsinh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par :

∀

x

∈

R

arsinh

⁡

x

=

ln

⁡

(

x

+

1

+

x

2

)

{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)}

.

Sinus hyperbolique réciproque complexe

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Sine », sur MathWorld

Notes et références

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