Argch

Le cosinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

La fonction cosinus hyperbolique réciproque, ou argument cosinus hyperbolique, notée arcosh (ou argch),

arcosh

:

[

1

,

+

∞

[

→

R

+

{\displaystyle \operatorname {arcosh} :\left[1,+\infty \right[\to \mathbb {R} _{+}}

est définie à l'aide du cosinus hyperbolique par :

y

=

arcosh

⁡

x

⟺

x

=

cosh

⁡

y

et

y

≥

0

{\displaystyle y=\operatorname {arcosh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\cosh y\;{\text{ et }}\;y\geq 0}

.

Propriétés

Cette fonction est injective et son image est

R

+

{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}

. Elle est continue, strictement croissante et concave.

Sa valeur en 1 est 0 et sa limite en +∞ est +∞.

Elle est dérivable sur ]1, +∞[ et sa dérivée est donnée par :

∀

x

>

1

arcosh

′

⁡

x

=

1

x

2

−

1

{\displaystyle \forall x>1\quad \operatorname {arcosh} 'x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}

.

On en déduit la primitive de arcosh qui s'annule en 1 :

∀

x

≥

1

∫

1

x

arcosh

⁡

u

d

u

=

x

arcosh

⁡

x

−

x

2

−

1

{\displaystyle \forall x\geq 1\quad \int _{1}^{x}\operatorname {arcosh} u\,\mathrm {d} u=x\operatorname {arcosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}}

.

La composée de arcosh par la fonction sinus hyperbolique est donnée par :

∀

x

≥

1

sinh

⁡

(

arcosh

⁡

x

)

=

x

2

−

1

{\displaystyle \forall x\geq 1\quad \sinh \left(\operatorname {arcosh} x\right)={\sqrt {x^{2}-1}}}

.

Par conséquent :

la fonction arcosh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par :

∀

x

≥

1

arcosh

⁡

x

=

ln

⁡

(

x

+

x

2

−

1

)

{\displaystyle \forall x\geq 1\quad \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}

;

la somme et la différence de deux arguments cosinus hyperbolique s'expriment par :

∀

u

≥

v

≥

1

arcosh

⁡

u

±

arcosh

⁡

v

=

arcosh

⁡

(

u

v

±

(

u

2

−

1

)

(

v

2

−

1

)

)

{\displaystyle \forall u\geq v\geq 1\quad \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {\left(u^{2}-1\right)\left(v^{2}-1\right)}}\right)}

.

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Cosine », sur MathWorld

Notes et références

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