Acos
Acos est un mot de 4 lettres formé à partir du mot Aco auquel on ajoute la lettre S.
Que signifie le mot Acos ?
En mathématiques, l’arc cosinus d'un nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul (0° ou 0 rad) et l'angle plat (180° ou
π
{\displaystyle \pi }
rad).
La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est notée
arccos
{\displaystyle \arccos }
(
Arccos
{\displaystyle \operatorname {Arccos} }
ou
Acos
{\displaystyle \operatorname {Acos} }
en notation française, et
cos
−
1
{\displaystyle \cos ^{-1}}
, parfois
acos
{\displaystyle \operatorname {acos} }
ou
{\displaystyle \operatorname {acs} }
, en notation anglo-saxonne).
Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle
[
0
;
π
]
{\displaystyle [0;\pi ]}
donc, dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de l'arc cosinus s'obtient à partir de la courbe de la restriction du cosinus par la symétrie d'axe la droite d'équation
y
=
x
{\displaystyle y=x}
.
Définition
La fonction
arccos
:
[
−
1
,
1
]
→
[
0
,
π
]
{\displaystyle \arccos :[-1,1]\rightarrow [0,\pi ]}
est définie comme la fonction réciproque de
cos
{\displaystyle \cos }
sur
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
, c'est-à-dire qu'il s'agit de l'unique fonction telle que :
∀
x
∈
[
0
,
π
]
arccos
(
cos
x
)
=
x
.
{\displaystyle \forall x\in [0,\pi ]\quad \arccos(\cos x)=x.}
En langue naturelle : Pour tout
x
{\displaystyle x}
inclus dans l'intervalle de
0
{\displaystyle 0}
à π, l'image de la fonction arc cosinus sur l'antécédent cosinus de
x
{\displaystyle x}
, est
x
{\displaystyle x}
.
Ensemble de définition
-1 et 1 sont les valeurs minimales et maximales du rapport entre la coordonnée en abscisse du point placé sur le cercle unité, et le rayon du cercle.
Propriétés
Relations trigonométriques
Non-parité
Contrairement aux fonctions arc sinus et arc tangente, la fonction
arccos
{\displaystyle \arccos }
n'admet aucune parité. En revanche, elle possède la propriété suivante :
∀
x
∈
[
−
1
,
1
]
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
x
.
{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos x.}
Relation avec le sinus
Pour
X
=
arccos
x
{\displaystyle X=\arccos x}
, on a
sin
X
≥
0
{\displaystyle \sin X\geq 0}
(car
X
∈
[
0
,
π
]
{\displaystyle X\in [0,\pi ]}
) et
cos
2
X
+
sin
2
X
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}X+\sin ^{2}X=1}
, donc[réf. souhaitée] :
sin
(
arccos
x
)
=
1
−
x
2
.
{\displaystyle \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}.}
« Inversion » des formules trigonométriques
Partant de n'importe quelle formule trigonométrique, on peut l'« inverser », obtenant une relation entre valeurs des fonctions réciproques, mais qui ne sera le plus souvent valable que dans des intervalles restreints. Par exemple, puisque
cos
2
x
=
2
cos
2
x
−
1
{\displaystyle \cos 2x=2\cos ^{2}x-1}
, on a
arccos
(
2
X
2
−
1
)
=
2
arccos
X
{\displaystyle \arccos \left(2X^{2}-1\right)=2\arccos X}
, mais seulement pour
X
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle X\in [0,1]}
[réf. souhaitée].
Dérivée
Comme dérivée d'une fonction réciproque,
arccos
{\displaystyle \arccos }
est dérivable sur
]
−
1
;
1
[
{\displaystyle ]-1;1[}
et vérifie :
arccos
′
x
=
−
1
1
−
x
2
.
{\displaystyle \arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque et à la relation avec le sinus (voir supra).
Forme intégrale indéfinie
Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :
arccos
x
=
∫
1
x
−
1
1
−
t
2
d
t
.
{\displaystyle \arccos x=\int _{1}^{x}-{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.}
Primitives
Les primitives de la fonction
arccos
{\displaystyle \arccos }
s'obtiennent par intégration par parties :
∫
arccos
(
x
)
d
x
=
x
arccos
(
x
)
−
1
−
x
2
+
C
.
{\displaystyle \int \arccos(x)~\mathrm {d} x=x\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C.}
Relation entre arc cosinus et arc sinus
arccos
x
+
arcsin
x
=
π
2
{\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}
En effet,
π
2
−
arccos
x
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x}
est compris entre
−
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}
et
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
et son sinus est égal au cosinus de
arccos
x
{\displaystyle \arccos x}
, c'est-à-dire à
x
{\displaystyle x}
, donc
π
2
−
arccos
x
=
arcsin
x
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x=\arcsin x}
.
(Pour une autre méthode, voir « Monotonie et signe de la dérivée » de l'article sur les fonctions monotones.)
Forme logarithmique complexe
On peut exprimer la fonction
arccos
{\displaystyle \arccos }
à l’aide du logarithme complexe :
arccos
(
x
)
=
−
i
ln
(
x
+
i
1
−
x
2
)
=
π
2
+
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
=
π
2
−
arcsin
(
x
)
.
{\displaystyle \arccos(x)=-\mathrm {i} \,\ln \left(x+\mathrm {i} \,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} \,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x).}
Références
Voir aussi
Articles connexes
Arc sinus
Liens externes
(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Cosine », sur MathWorld
(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1046 p. (lire en ligne ), chap. 4.4 (« Inverse Circular Functions. »)
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Quels sont les mots de 5 lettres qui commencent par Acos ?
La liste des mots commençant par Acos est la suivante :